Перефразируем задачу - за N испытаний ни разу не выпало 3 успеха подряд.
Пусть F(N) - количество вариантов при N испытаниях, не приведших к 3-м успехам подряд.
Тогда вероятность указанного события равна F(N)/EXP(2,N), где EXP(2,N) - 2 в степени N.
Будем отображать результаты испытаний последовательностями 0 и 1 (0 - неуспех, 1 - успех)
Разобьем F(N) на 3 части:
A(N) - варианты, оканчивающиеся на 00 или 10 (последнее испытание - неуспех)
B(N) - варианты, оканчивающиеся на 01 (предпоследнее - неуспех, последнее - успех)
C(N) - варианты, оканчивающиеся на 11 (2 последних - успех)
Тогда можем выразить A(N+1), B(N+1), C(N+1) через A(N), B(N), C(N):
A(N+1)=A(N)+B(N)+C(N) (последнее испытание - неуспех, добавляем 0 к вариантам из A(N), B(N), C(N))
B(N+1)=A(N) (после неуспеха пришел успех, добавляем 1 к A(N))
C(N+1)=B(N) (после успеха пришел успех, добавляем 1 к B(N))
Получаем, что
A(N+1)=A(N)+B(N)+C(N)=F(N)
B(N+1)=A(N)=F(N-1)
C(N+1)=B(N)=F(N-2), для N>2
Таким образом, F(N+1)=F(N)+F(N-1)+F(N-2).
Легко подсчитать вручную, что F(3)=7, F(4)=13, F(5)=24
Загоняем формулу в Excel и получаем
N F(N) EXP(2,N) F(N)/EXP(2,N)
3 7 8 0,875
4 13 16 0,8125
5 24 32 0,75
6 44 64 0,6875
7 81 128 0,6328125
8 149 256 0,58203125
9 274 512 0,53515625
10 504 1024 0,4921875
. . . . . . . . . . . . . .
64 9,85139E+16 1,84467E+19 0,005340447
65 1,81195E+17 3,68935E+19 0,004911306
66 3,3327E+17 7,3787E+19 0,00451665
. . . . . . . . . . . . . .
76 1,47669E+20 7,55579E+22 0,001954389
77 2,71606E+20 1,51116E+23 0,001797341
78 4,99562E+20 3,02231E+23 0,001652912
79 9,18838E+20 6,04463E+23 0,00152009
80 1,69001E+21 1,20893E+24 0,001397941
после 66 испытаний вероятность равна 0.45% (1 шанс из 221)
после 80 испытаний вероятность равна 0.14% (1 шанс из 715)
(форматирование полетело )